Начать эту статью хотелось бы со слов великого русского математика Николая Лобачевского, сказавшего, что «нет такого раздела математики, пусть даже самого абстрактного, который не может быть когда-либо быть применен к реальному миру». Так и теория игр вплоть середины ХХ века развивалась именно как теория, практическое применение которой было не понятно.
Впервые прикладное значение теории игр было описано в совместной работе Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», опубликованной в 1944 году.
Джон Нэш, великий американский математик, чей образ представил на экране Рассел Кроу в фильме «Игры разума», во время учебы в Принстонском Университете посещал лекции фон Неймана. Теория игр настолько его поразила, что в 1949 году, когда ему было всего 21 год, он написал диссертацию, за которую спустя 45 лет получил Нобелевскую премию в области экономики.
В своей работе Нэш ввел новые определения и понятия, формализовав теорию игр. Основные понятия: конфликт, принятие решение, оптимальность принятого решения. «Равновесие Нэша» — набор стратегий в игре двух или более игроков, когда каждый из них должен использовать оптимальную стратегию и создавать тем самым устойчивое равновесие. В своих работах Джону Нэшу удалось доказать, что такой подход к конкуренции когда каждый сам за себя не лучшая стратегия.
Для примера, возьмем две крупные компании по продаже авиабилетов. Если они обе будут держать высокие цены на билеты, то каждая сможет получить прибыль по 4 миллиона. Если же обе будут держать низкие цены на билеты, то прибыль составит по 2 миллиона. В случае, если одна будет держать низкие цены, в вторая высокие, то первая получит уже 5 миллионов прибыли, а вторая только 1 миллион. Оптимальным в этой задаче будет выбрать первый вариант и по 4 млн на каждую компанию. Но из-за непредсказуемости поведения конкурента скорее всего обе компании выберут вариант с низкими ценами. Он менее выгоден, но он хорош тем, что не дает фору конкуренту в случае изменения его стратегии. Это и есть равновесная ситуация, названная в честь человека, её описавшего.
Очень часто применительно к теории игр упоминают «Дилемму заключенного». Суть её такова: 2 друга ограбили банк, украли машину и скрылись на ней. Полицейским удалось их арестовать на угнанной машине, но денег там не оказалось, как и свидетелей, способных подтвердить личность грабителей. Арестованных разводят по одиночным камерам, лишив возможности общаться. Следствию ничего не остается как предложить преступникам сделку: если один согласится свидетельствовать против другого, то его освободят, а друга посадят на 10 лет. Если они оба будут свидетельствовать друг против друга, то каждому дадут по 2 года тюрьмы. Если же оба ни в чем не признаются, то из преступлений остается только угон машины – а это полгода тюрьмы.
Поставим себя на место одно из преступников. Как поступить? Если я буду молчать, то друг может и не промолчать – тогда мне 10 лет тюрьмы, а он на свободу и денежки прихватит. Если же я буду говорить, то в случае, если он тоже расколется, нам всем дадут только по 2 года. Казалось бы, идеальный вариант – мне говорить.
Но это вариант идеален если думать только о себе. Если же говорить об общем благе, то идеальным будет как раз обоим промолчать – выйти на свободу через 6 месяцев и наслаждаться жизнью на украденный деньги. И чистая совесть в придачу!
Существует гораздо более задач (ситуаций) когда равновесие не может быть достигнуто в силу того, что в них отсутствует точка равновесия. В реальной, не смоделированной жизни, в большинстве случаев для каждого игрока не существует оптимальной стратегии. Например, игра в покер, где игроки не просто утаивают сои стратегии, но ещё и обманывают (блефуют) других игроков и раскрывают карты только в том случае, когда это прямо указано правилами игры.
Применительно к математике интересно разделить игры на случайные и стратегические. К случайным относятся все игры, где присутствует элемент случайности. Любая игра в карты, где карты сдаются случайным образом, является таковой. Также в некоторых играх на следующих ход могут влиять очки, выброшенные на игральных костях, что тоже случайно. Таким образом понятно, что абсолютной стратегии, которая бы 100% приводила к выигрышу, для таких типов игр не существует. Обратной по типу будет игра стратегическая, где каждый ход зависит только от самого игрока. Отличный пример – игра в шахматы, где всё, начиная от расстановки фигур на доске, до каждого конкретного хода является строго регламентированным. Для таких игр теоретически можно создать абсолютно выигрышную стратегию. Но только это не всегда возможно в силу разных причин, например, сложности игры, многообразия возможных ходов и т.д. Возвращаясь к шахматам, вспомним притчу о их создателе. По преданию это был древнеиндийский математик, который представил правителю своей страны свое изобретение – шахматы. Правителю так понравилась игра, что он позволил изобретателю самому выбрать награду. Он попросил на каждой клетке шахматной доски удваивать зернышки риса, т.е. за первую клетку 1 зернышко, за вторую – 2 зернышка, за третью – 4 и т.д . Правитель, не слишком сильный в математике, сильно удивился что у него просят так мало и приказал выдать немедленно выдать награду. И ещё более удивился, когда и по прошествии недели казначеи так и не смогли выдуть математику необходимое количество риса. Ведь клеток 64 и на 64 клетке должно быть более 18· 10 18 рисинок. А общая масса находящегося на доске риса равна приблизительно 1200 миллиардов тонн – что превышает мировой урожай риса практически в 1500 раз.
Наряду с этой классификацией выделяют игры с нулевой и ненулевой суммой. Игры с нулевой суммой – когда проигрыш одного игрока равен выигрышу другого игрока. С ненулевой суммой – когда проигрыш одного игрока не равен выигрышу другого. Пример – ставки в букмекерской конторе, где коэффициенты на ставки на равновероятностные события не равны 2,00\ 2,00. Как правило эти коэффициенты находятся на уровне 1,85\1,85 – дельта уходит в доход организатора пари, т.е. букмекера.
Если ранее теория игр применялась больше в экономических науках, то дальнейшее её развитие оказалось интересным и для таких областей как социология, политология, биология и даже военное дело. Везде, где есть место отдельным личностям и группам, случайным событиям и неопределенностью будущего возникают проблемы выбора между конфликтом, риском и сотрудничеством. Математика не предсказывает будущее, она помогает оценить риски, связанные с тем или иным выбором.
